Родился в городе Звенигороде Московской области. Окончил Ленинградский технологический институт целлюлозно-бумажной промышленности и Краснознамённый институт КГБ СССР. В органах Комитета государственной безопасности СССР с 1971 года. В 1974 году переведён в Первое главное управление КГБ СССР (внешняя разведка). Три с половиной года находился в служебной командировке в одной из стран Юго-Восточной Азии.
занимал должности начальника ряда районных подразделений Министерства безопасности - Федеральной службы контрразведки —Федеральной службы безопасности Российской Федерации в Санкт-Петербурге, в частности возглавлял Центральный райотдел ФСБ России.
заместитель начальника Управления ФСБ России по Санкт-Петербургу и Ленинградской области.
переведен в центральный аппарат ФСБ России, назначен первым заместителем начальника Департамента экономической безопасности ФСБ России.
руководитель Федеральной службы охраны Российской Федерации (ФСО России). Указом Президента Российской Федерации 2004 году Е. А. Мурову присвоено воинское звание генерал армии. Впервые в истории советских и постсоветских спецслужб главе службы охраны присвоено столь высокое звание.
В молодости занимался боксом и баскетболом, имеет спортивные достижения и разряды. Несколько лет Муров был главой Попечительского совета Федерации бокса России. 27 июня 2007 года избран Президентом Федерации бокса России. В 2009 подал в отставку с поста президента Федерации бокса России и возглавил Высший наблюдательный совет ФБР. Одновременно Е.А. Муров является специальным представителем Президента Международной Федерации бокса (AIBA) на правах вице-президента (с 2011 года по н.в.) Также является членом попечительского совета Всероссийского физкультурно-спортивного общества «Динамо».
Уволен с военной службы (Указ Президента РФ N 1421 от 15 ноября 2010 года), при сохранении должности директора ФСО России.
Президент РФ Владимир Путин подписал указ об освобождении Е.А. Мурова от должности директора Федеральной службы охраны по собственному желанию.
Награждён орденом «За заслуги перед Отечеством» II, III и IV степеней; орденами - «Дружбы», «Почета», «Александра Невского», «За военные заслуги»; медалями, в том числе медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени; знаком отличия «За заслуги перед Санкт-Петербургом». Удостоен ряда благодарностей и грамот Президента РФ. Является лауреатом государственных премий.
Увлекается автомобильным и мотоциклетным спортом, охотой, бильярдом, шахматами.
Женат. Сын – Муров Андрей Евгеньевич (Председатель Правления ОАО «ФСК ЕЭС»). Имеет двух внуков.
Акциями АО «Зарубежнефть» не владеет
